Αναζήτηση

Πλοήγηση

• Κοινότητες
• Συγγραφείς
• Έτος
• Τίτλοι
• Θέματα

Ο Χώρος μου

• Είσοδος

Θεωρία προσέγγισης σε χώρους με νόρμα

Stavroulakis Dimitrios

Πλήρης Εγγραφή

---

Περίληψη

Η Θεωρία προσέγγισης αποτελεί κλάδο της Μαθηματικής και Αριθμητικής Ανάλυσης, ανάλογα την “σκοπιά” από την οποία θα την εξετάσουμε. Η θεωρητική της πλευρά εστιάζει στην ύπαρξη βέλτιστης προσέγγισης και τη μοναδικότητά της, καθώς και σε θεωρητικά ζητήματα στα οποία βρίσκουν εφαρμογές. Αντιθέτως, η πρακτική της πλευρά αφορά Αριθμητικές μεθόδους, εκτιμήσεις σφαλμάτων και άλλα εργαλεία που συμβάλλουν στην εύρεση προσέγγισης και την μετατροπή της σε βέλτιστη.Η παρούσα εργασία μελετά κυρίως την θεωρητική σκοπιά της θεωρίας προσεγγίσεων σε χώρους με νόρμα. Δίνουμε αρχικά τις απαραίτητες εισαγωγικές έννοιες, μελετάμε τις ειδικές περιπτώσεις των χώρων με νόρμα (χώροι Banach, Hilbert) και περιοριζόμαστε στους πεπερασμένης διάστασης χώρους, με σκοπό την διατύπωση και απόδειξη του Θεμελιώδους θεωρήματος της θεωρίας προσεγγίσεων που εξασφαλίζει την ύπαρξη βέλτιστης προσέγγισης για στοιχεία (διανύσματα, συναρτήσεις) των παραπάνω χώρων.Στη συνεχεία δίνουμε τον ορισμό της αυστηρής κυρτότητας, αποδεικνύουμε την ύπαρξη το πολύ μιας βέλτιστης προσέγγισης για στοιχεία του χώρου εάν αυτός είναι αυστηρά κυρτός, καθώς και την ύπαρξη άπειρων βέλτιστων προσεγγίσεων για κάποιο στοιχείο του στην αντίθετη περίπτωση. Το υπόλοιπο του κεφαλαίου αφιερώνεται στο πρόβλημα της ομοιόμορφης πολυωνυμικής προσέγγισης συνεχών συναρτήσεων. Η ύπαρξη της εξασφαλίζεται από το 1o θέωρημα προσέγγισης του Weierstrass, για το οποίο δίνονται οι αποδείξεις των Landau & Bernstein. Επιπλέον, γίνεται μελέτη των συνθηκών κάτω από τις οποίες η ομοιόμορφη πολυωνυμική προσέγγιση γίνεται βέλτιστη και εξασφαλίζεται η μοναδικότητα της.Στο τελευταίο μέρος της εργασίας μελετάμε την ύπαρξη πλησιέστερων σημείων σε χώρους Banach με την ιδιότητα Radon-Nikodym. Δίνονται αρχικά οι ορισμοί των πλησιέστερων σημείων και της ασθενούς προσεγγισιμότητας, καθώς και ο χαρακτηρισμός των χώρων Banach με την ιδιότητα Radon-Nikodym, μέσω των Bochner ολοκληρώσιμων συναρτήσεων. Έπειτα, εξετάζουμε την σχέση της ιδιότητας Radon-Nikodym και εκείνης των dentable συνόλων, καταλήγοντας στο θεώρημα των Borwein & Fitzpatrick, το οποίο εξασφαλίζει την ύπαρξη πλησιέστερου σημείου σε ένα μη κενό, κλειστό και φραγμένο υποσύνολο του χώρου Banach. Τέλος, διατυπώνουμε το θεώρημα του Edelstein, το οποίο προσδίδει μια επιπλέον ιδιότητα στο σύνολο των σημείων με πλησιέστερο σημείο στο προαναφερθέν υποσύνολο του χώρου.

Διαθέσιμα αρχεία

Υπηρεσίες